是有的:{1,2,6,8,9} 是此游戏的安全操作的集合,因此是一个Salem-Spencer集。并且是最大的。因为我们知道对于集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9},最大的Salem-Spencer集大小就是5。但是对于一般的n个元素的集合,{1,2,3,…,n},我们不总是知道答案。事实上,对于现在来说,我们只知道 n ≤ 209 的答案。
数学家想知道,对于{1,2,3,…,n},最大Salem-Spencer集中究竟有几个元素。但是总体来说他们能做到的最多只有确定一个范围。即使是这也非常困难,部分是因为我们上面看到的不规律性。划掉新数字可能消除许多选项,也可能只有几个。在下面的表格中,你可以看到这种不规律性。表格列出了对于{1,2,3,…,n},不同 n 值下最大Salem-Spencer集中究竟有几个元素。
在我们 n = 9 的游戏中,最大的Salem-Spencer集的大小是5。但是注意到如果我加上10这个数字,最大Salem-Spencer集的大小并不增加,仍旧是5。
另一方面,n 等于12到13到14的情况下,最大值从6增加到7到8。但再增加1需要n增加6。
像Roth定理和 Szemeredi 定理这样的结果为这些集合和他们的变体的大小设置了界限,并且通常使用了大量数字和高等数学(比如遍历理论与傅里叶变换)。举例来说,菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯在他关于更加广义的 Szemeredi 定理的工作中,为不含 k 长度等差数列集合的大小建立了一个重要的上限。但如果我们想计算我们游戏在 n = 9(数字列表的长度),k = 3(避免划掉的等差数列长度)时的上限,我们的计算会包含估算2的4096次方的大小,一个具有1200位的数字!